Академик Петербургской Академии наук, математик, механик
Родился в городе Ярославле.
Из столбового дворянского рода.
После смерти отца в 1868 году вместе с матерью и двумя братьями (будущие композитор Сергей Михайлович Ляпунов и лингвист Борис Михайлович Ляпунов) переехал в город Нижний Новгород.
В 1870 году поступил в третий класс Нижегородской гимназии, в 1876 году окончил ее с золотой медалью.
В 1876 году поступил в Петербургский университет на отделение естественных наук физико-математического факультета, через месяц перешел на математическое отделение.
В 1881 году опубликовал две первые работы: «О равновесии твердых тел в тяжёлых жидкостях, содержащихся в сосуде определённой формы» и «О потенциале гидростатического давления».
Защитил магистерскую диссертацию о вращении жидкости вокруг оси.
Защита магистерской диссертации дала право на преподавательскую деятельность.
Весной 1885 года был утвержден в звании приват-доцента Петербургского университета.
Но получил предложение занять кафедру механики Харьковского университета.
В 1885 году в звании приват-доцента в городе Харькове начал чтения лекций по всем курсам кафедры.
В 1887 – 1891 годах публиковал свои работы в «Сообщениях Харьковского математического общества».
30 сентября 1892 года в Московском университете защитил докторскую диссертацию «Общая задача об устойчивости движения», в которой рассмотрел проблему устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы.
В 1893 году получил звание ординарного профессора Харьковского университета.
Член-корреспондент Петербургской академии наук по разделу математических наук (02.12.1900).
Ординарный академик по кафедре прикладной математики (06.10.1901).
Член-корреспондент Парижской академии наук. Член Национальной академии деи Линчеи (Италия).
С 1902 года жил в Санкт-Петербурге.
В 1905 году в «Записках Академии наук» опубликовал труд «Об одной задаче Чебышёва». В последующие годы (1906-1914) на французском языке вышел большой труд в четырёх частях «О фигурах равновесия однородной вращающейся жидкости, мало отличающихся от эллипсоидальных».
Создал современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем с конечным числом параметров.
Работы по теории устойчивости движения служат научным фундаментом теории разнообразных автоматических устройств и, в частности, систем управления полетом самолетов и ракет.
Работал в области дифференциальных уравнений, гидродинамики, теории вероятностей.
В 1917 году переехал в город Одессу в связи с состоянием здоровья жены.
Осенью 1918 года начал читать курс лекций «О форме небесных тел» в Новороссийском университете (ныне Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова). Последнюю лекцию прочел 28 октября 1918 года.
В день смерти жены 31 октября выстрелил в себя из пистолета, через три дня скончался в университетской хирургической клинике.
Похоронен в городе Одессе на Втором Христианском кладбище.
Память: на здании бывшей Нижегородской мужской гимназии, где он учился (ныне главный корпус Мининского университета – г. Нижний Новгород, Нижегородский район, улица Ульянова, 1), установлена мемориальная доска.