Доктор физико-математических наук
Родился в городе Вологде.
Окончил с отличием физико-математический факультет Горьковского государственного университета (ГГУ, 1941 г.), аспирантуру кафедры алгебры и геометрии ГГУ (1951 г.).
Участник Великой Отечественной войны.
Доктор физико-математических наук. Профессор.
Один из крупнейших специалистов по алгебраической геометрии.
В 1948 году научный руководитель аспиранта Гудкова академик А.А. Андронов предложил ему построить теорию грубости для плоских алгебраических кривых.
В 1969 году, в результате многолетних исследований Гудков решил задачу о топологической классификации неособых вещественных кривых степени 6 из первой части 16-й проблемы Гильберта и открыл (в виде гипотезы) сравнение по модулю восемь для М-кривых чётной степени.
Автор книги "Н.И. Лобачевский. Загадки биографии".
Жил в Нижнем Новгороде, похоронен на кладбище "Марьина Роща".
Награды: ордена Отечественной войны 2-й степени (09.06.1945, 06.11.1985), медали, в т.ч. "За боевые заслуги" (14.09.1944).