Актёр театра и кино, народный артист СССР, лауреат Государственной премии СССР и РСФСР
Родился в Нижнем Новгороде, в семье рабочих.
С 1941 года, после окончания семи классов школы, работал электромонтёром.
Год проучился в дизелестроительном техникуме, четыре года работал слесарем на заводе «Красная Этна».
Занимался в самодеятельности, был очень музыкален, виртуозно играл на разных инструментах: гитаре, рояле, вилках.
В 1946 году был зачислен на первый курс Горьковского театрального училища (ныне Нижегородское театральное училище им. Е.А. Евстигнеева).
Окончив его в 1951 году, был распределён во Владимирский областной драматический театр им. А.В. Луначарского.
В 1954 году поступил в Школу-студию им. В.И. Немировича-Данченко при МХАТ СССР им. М. Горького в Москве, сразу на второй курс.
В середине 1955 года студенты Школы-студии МХАТ, среди которых был и Евгений, создали «Студию молодых актёров», которая через год стала базой для нового столичного театра «Современник».
В 1956 году окончил Школу-студию МХАТ (курс П.В. Массальского) и был принят во МХАТ.
С 1957 года – актёр театра «Современник». Первую свою значительную роль в театре сыграл в 1960 году в спектакле «Голый король» по пьесе Е.Л. Шварца.
В 1971 году перешёл в труппу МХАТа.
Снялся более чем в ста лентах в кино и на телевидении. Самые запоминающиеся роли были в фильмах: «Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещён» (1964 г.), «Берегись автомобиля» (1966 г.), «Золотой телёнок» (1968 г.), «Старики-разбойники» (1971 г.), «Семнадцать мгновений весны» (1973 г.), «Невероятные приключения итальянцев в России» (1973 г.), «Место встречи изменить нельзя» (1979 г.), «Старый новый год» (1980 г.), «Зимний вечер в Гаграх» (1985 г.), «Собачье сердце» (1988 г.).
В 1976 – 1985 годах вёл педагогическую работу в Школе-студии МХАТ.
Профессор (1977).
Также преподавал на Высших курсах сценаристов и режиссёров.
Заслуженный артист РСФСР (21.02.1968).
Народный артист РСФСР (30.05.1974).
Народный артист СССР (23.02.1983).
Лауреат Государственной премии СССР – за исполнение роли Петра Хромова в спектакле «Сталевары» Г.К. Бокарева (1974).
Лауреат Государственной премии РСФСР им. братьев Васильевых – за телевизионный фильм «Собачье сердце» (1990).
Лауреат премии "Хрустальная Турандот" (1992).
Скончался в одной из клиник Лондона накануне операции на сердце.
Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.
Награды: ордена Ленина (1986); Трудового Красного Знамени (28.06.1982).

Память: с 6 октября 2003 года Нижегородское театральное училище носит имя Е.А. Евстигнеева.
На здании училища установлена мемориальная доска (г. Нижний Новгород, Нижегородский район, улица Варварская, 3/а).

В городе Нижнем Новгороде возле Нижегородского государственного академического театра драмы им. М. Горького (Нижегородский район, улица Большая Покровская, 13) установлена скульптура актёра.

Мемориальная доска размещена на улице Бакунина в Канавинском районе города Нижнего Новгорода, где актёр прожил первые годы жизни.

Также мемориальная доска установлена на здании заводоуправления ОАО «Этна», бывший завод «Красная Этна» (г. Нижний Новгород, Ленинский район, улица Порт-Артурская, 1).